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幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则
作者:佚名 文章来源:本站原创 点击数:190735 更新时间:2006-2-20 23:27:41

教学目标

1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质.

2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程.

3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题.

教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则.难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及运算法则的推导.

教学过程设计

师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,求20年后国民生产总值是原来的多少倍?

生:设原来国民生产总值为1,则20年后国民生产总值y=1+7.2%)20=1.07220,所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍.

师:这是个实际应用问题,我们把它转化为数学中知道底数和指数,求幂值的问题.也就是上面学习的指数问题.

师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍?

师:(分析)仿照上例,设原来国民生产总值为1,需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程

1.072x=4

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值,求指数的问题,这是上述问题的逆问题,即本节的对数问题.

师:(板书)一般地,如果aa0a1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作

logaN=b

其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式.

师:请同学谈谈对对数这个定义的认识.

生:对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法.

生:对数是一种新的运算.是知道底和幂值求指数的运算.

(此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识,只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会.)

师:他们说得都非常好.实际上ab=N这个式子涉及到了三个量abN,由方程的观点可得“知二求一”.知道ab可求N,即前面学过的指数运算;知道b(为自然数时),N可求a,即初中学过的开

记作logaN=b.因此,对数是一种新的运算,一种知道底和幂值求指数的运算.而每学一种新的运算,首先要学习它的记法,对数运算的记法为logaN,读作:以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法.

师:实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆对数这个概念,请同学们填写下列表格.(打出幻灯)

   

 

式子

名称

a

b

N

指数式

对数式

ab=N

logaN=b

 

 

 

练习1  把下列指数式写成对数形式:

练习2  把下列对数形式写成指数形式:

练习3  求下列各式的值:

(两名学生板演练习12题(过程略),一生板演练习三.)

因为22=4,所以以2为底4的对数等于2

因为53=125,所以以5为底125的对数等于3

(注意纠正学生的错误读法和写法.)

师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么?

生:a0a1bRNR

师:NR?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.)

生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=NN总是正数.

师:要特别强调的是:零和负数没有对数.

师:定义中为什么规定a0a1

(根据本班情况决定是否设置此问.)

生:因为若a0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log-28不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1N不为1时,b不存在,如log13不存在,N1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a0a1

(此回答能培养学生分类讨论的数学思想.这个问题从ab=N出发回答较为简单.)

师:下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数.

师:(板书)对数logaNa0a1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e2.718 28…….

练习4  计算下列对数:

lg10000lg0.012log243log32710lg1055log51125

师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想.

生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4

生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27

生:10lg105=105

生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125

师:非常好.这就是我们下面要学习的对数恒等式.

师:(板书)

alogaN=Na0a1N0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线)

(再次鼓励学生,并提出更高要求,给出严格证明.)

(学生讨论,并口答.)

生:(板书)

证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N

师:你是根据什么证明对数恒等式的?

生:根据对数定义.

师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知识只有定义,所以显然要利用定义加以证明.而对数定义是建立在指数基础之上的,所以必须先设出指数等式,从而转化成对数等式,再进行证明.

师:掌握了对数恒等式的推导之后,我们要特别注意此等式的适用条件.

生:a0a1N0

师:接下来观察式子结构特点并加以记忆.

(给学生一分钟时间.)

师:(板书)2log28=2log42=

生:2log28=82log42=2

师:第2题对吗?错在哪儿?

师:(继续追问)在运用对数恒等式时应注意什么?

(经历上面的错误,使学生更牢固地记住对数恒等式.)

生:当幂的底数和对数的底数相同时,才可以用公式

alogaN=N

(师用红笔在两处a上重重地描写.)

师:最后说说对数恒等式的作用是什么?

生:化简!

师:请打开书74页,做练习4

(生口答.略)

师:对对数的定义我们已经有了一定认识,现在,我们根据定义来进一步研究对数的性质.

师:负数和零有没有对数?并说明理由.

生:负数和零没有对数.因为定义中规定a0,所以不论b是什么数,都有ab0,这就是说,不论b是什么数,N=ab永远是正数.因此,由等式b=logaN可以看到,负数和零没有对数.

师:非常好.由于对数定义是建立在指数定义的基础之上,所以我们要充分利用指数的知识来研究对数.

师:(板书)性质1:负数和零没有对数.

师:1的对数是多少?

生:因为a0=1a0a1),所以根据对数定义可得1的对数是零.

师:(板书)1的对数是零.

师;底数的对数等于多少?

生:因为a1=a,所以根据对数的定义可得底数的对数等于1

师:(板书)底数的对数等于1

师:给一分钟时间,请牢记这三条性质.

师:在初中,我们学习了指数的运算法则,请大家回忆一下.

生:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n.同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am÷an=am-n.还有(amn=amn

师:下面我们利用指数的运算法则,证明对数的运算法则.(板书)

1)正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和.即

logaMN=logaM+logaN

(请两个同学读法则(1),并给时间让学生讨论证明.)

师:(分析)我们要证明这个运算法则,用眼睛一瞪无从下手,这时我们该想到,关于对数我们只学了定义和性质,显然性质不能证明此式,所以只有用定义证明.而对数是由指数加以定义的,显然要利用指数的运算法则加以证明,因此,我们首先要把对数等式转化为指数等式.

师:(板书)设logaM=plogaN=q,由对数的定义可以写成M=apN=aq.所以

M·N=ap·aq=ap+q

所以

logaM·N=p+q=logaM+logaN

logaMN=logaM+logaN

 

师:这个法则的适用条件是什么?

生:每个对数都有意义,即M0N0a0a1

师:观察法则(1)的结构特点并加以记忆.

生:等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算.

师:非常好.例如,(板书)log232×64=

生:log232×64=log232+log264=5+6=11

师:通过此例,同学应体会到此法则的重要作用——降级运算.它使计算简化.

师:(板书)log62+log63=

生:log62+log63=log62×3=1

师:正确.由此例我们又得到什么启示?

生:这是法则从右往左的使用.是升级运算.

师:对.对于运算法则(公式),我们不仅要会从左往右使用,还要会从右往左使用.真正领会法则的作用!

师:(板书)(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数.

师:仿照研究法则(1)的四个步骤,自己学习.

(给学生三分钟讨论时间.)

生:(板书)设logaM=plogaN=q.根据对数的定义可以写成M=apN=aq.所以

师:非常好.他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的.大家再想一想,在证明法则(2)时,我们不仅有对数的定义和性质,还有法则(1)这个结论.那么,我们是否还有其它证明方法?

生:(板书)

师:非常漂亮.他是运用转化归结的思想,借助于刚刚证明的法则(1)去证明法则(2).他的证法要比书上的更简单.这说明,转化归结的思想,在化难为易、化复杂为简单上的重要作用.事实上,这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到,而且在解题中的应用更加广泛.

师:法则(2)的适用条件是什么?

生:M0N0a0a1

师:观察法则(2)的结构特点并加以记忆.

生:等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算.

师:(板书)lg20-lg2=

师:可见法则(2)的作用仍然是加快计算速度,也简化了计算的方法.

师:(板书)

1  计算:

生:(板书)

1log93+log927=log93×27=log981=2

3log24+4=log24+log24=4

(由学生判对错,并说明理由.)

生:第(2)题错!在同底的情况下才能运用对数运算法则.(板书)

生:第(3)题错!法则(1)的内容是:

生:第(4)题错!法则(2)的内容是:

师:通过前面同学出现的错误,我们在运用对数运算法则时要特别注意什么?

生:首先,在同底的情况下才能从右往左运用法则(1)、(2);其次,只有在正因数的或两个正数的的对数的情况下,才能从左往右运用运算法则(1)、(2).

师:(板书)(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.即

logaNn=n·logaN

师:(分析)欲证logaNn=n·logaN,只需证

Nn=an·logaN=a·logaNn

只需证

N=alogaN

 

由对数恒等式,这是显然成立的.

师:(板书)设N0,根据对数恒等式有

N=alogaN

所以

Nn=alogaNn=an·logaN

 

根据对数的定义有

logaNn=n·logaN

师:法则(3)的适用条件是什么?

生:a0a1N0

师:观察式子结构特点并加以记忆.

生:从左往右仍然是降级运算.

师:例如,(板书)log332=log525=5log52.练习计算(log2323

(找一好一差两名学生板书.)

错解:(log2323=log2253=log2215=15

正确解:(log2323=log2253=5log223=53=125

(师再次提醒学生注意要准确记忆公式.)

师:(板书)(4)正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数.即

师:法则(4)的适用条件是什么?

生:a0a1N0

师:法则(3)和法则(4)可以合在一起加以记忆.即logaNα=αlogaN(α∈R).(师板书)

2  logaxlogaylogaz表示下列各式:

(生板书)

(注意(3)的第二步不要丢掉小括号.)

(师板书)

3  计算:

(生板书)

1log247×25=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19

师:请大家在笔记本上小结这节课的主要内容.

作业  课本P78.习题第1234题.

课堂教学设计说明

本节的教学过程是:

1.从实际问题引入,给出对数定义;

2.深刻认识对数定义;

3.对数式与指数式的互化;

4.对数恒等式alogaN=N

5.对数的性质;

6.对数运算法则;

7.例题·小结·作业.

通过本节课,应使学生明确如何学习一种运算(从定义、记法、性质、法则等方面来研究);如何学习公式或法则(从公式推导,适用条件,结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究).针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点,应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法.

内容录入:景天昊言    责任编辑:景天昊言 
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