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高州一中数学课题组"十五规划重点课题"教学案例
作者:高州一中 文章来源:本站原创 点击数:5750 更新时间:2008-10-19 10:51:14

“直线方程的一般形式”教学案例

高州市第一中学    夏子元

 

数学教育应该如何适应素质教育特别是创新教育的要求?如何充分发挥学生学习数学的积极性与主动性?如何更新教师的观念,使其有利于学生数学创新意识的培养?带着这些问题我们课题组经常开展合作研究,我们的基本想法是由于课堂教学是实施创新教育的主渠道,所以培养学生的创新意识首先应从课堂上做起。通过对一些“教学案例”的剖析用“反思”进行理论化,最终探索出培养学生数学创新意识的有效途径与方法。

一、一则教学案例

教学内容:直线的方程(三)

教学目的:了解在平面直角坐标系中,直线与变量xy的二元一次方程是一一对应的,从而为进一步学习“简单的线性规则”、“曲线和方程”打下基础,掌握直线特殊式与一般式在一定条件下的互化和解题,同时,借助计算机技术,培养学生在数学学习中的动手实践能力;通过让学生充分感受发现问题和解决问题带来的愉悦,培养学生的数学创新意识。

授课教室:多功能教室

教学过程:

Ⅰ、课题导入

师:前面几节课,我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式,对直线方程的表示形式有了一定的认识,现在,我们来回顾一下它们的基本形式。

1:点斜式:yy1=k(xx1) (适用于不垂直于x轴的直线)

          斜截式:y=kx+b             (适用于不垂直于x轴的直线)

          两点式:           =             (适用于不垂直于x轴和y轴的直线)

          截距式:   +      =1  (适用于不垂直于x轴和y轴,且不过原点的直线)

师:大家从上述的四种形式的直线方程中,能否找到它们的共同特点呢?

2:都是关于xy的二元一次方程

师:由此我们可以得出,直线与二元一次方程有着一定的关系,这也正是这节课,我们将继续研究的内容。

Ⅱ、讲授新课

师:下面我们用动画演示一条直线在直角坐标系上的各种位置。(在屏幕上动画演示一条直线绕一点在直角坐标系上旋转,并定格出以下六个图形)

教师:根据图形给出的条件,图1245分别能直接写出哪些直线方程?(图多,让两个学生来板演)

学生3:图1:∵tan45°=1        y6=x1

              2:∵k=               =5.5      y=0.5x+5.5

学生4:图4          =              

              5   +     =1

              (有一个学生要求补充板演是学生2

学生2:图4可以写成

              (y6)(21) = (76)(x1)

教师:都正确,那么图3和图6的直线方程呢?能用上面的四种形式表示吗?

(学生小声进行讨论)

学生5:图3和图6因为直线分别垂直y轴和x轴,所以直线没有斜,不能用上面四种形式表示,图3的直线方程是y=6,图6的是x=1(学生说,教师板演)

教师:(环视一下)有不同意见吗?

学生6:图3的直线有斜率,k=tan0°=0,是点斜式的特例,而图6的直线没有斜率,不能用点斜式表示,但可以用两点式的整式形式表示,x1=0

教师:很好,学生5能把图36的直线方程说出来,只是理由没有讲清楚,学生6的补充很对,我们再来看图1345的直线方程能写成y=kx+b的形式吗?(很快有学生要求板演)

学生7:图1y=x+5

              3y=0·x+6

              4y=    x+       

              5y=   x+7

教师:很好,同学们的回答说明在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,有α≠90°和α=90°两种情况,直线的方程可以写成y=kx+bx=x1的形式,而y=kx+b是关于xy的二元一次方程,但x=x1呢?

(学生在思考,小声议论:只有一个元,片刻没有回答)

教师:x=x1看起来是一元一次方程,但在坐标平面上讨论问题,应认为是关于xy的二元一次方程,只是y的系数为0,这样,对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程,而xy的一次方程的一般形式是Ax+By+C=0,其中AB不同时为0,这就是本节课我们要学习的“直线方程的一般形式”板书课题,学生阅读课本P4142

教师:每一条直线都可以得到方程Ax+By+C=0,但是Ax+By+C=0能否表示为一条直线?

学生8:能,因为当B0时,方程可化为y=    x   ,这是斜率为            、在y轴上的截距为-    的直线;当B=0A0时,方程可化为x=    ,它表示一条与y轴平行或重合的直线,这说明任何一个关于xy的一次方程的图象都是一条直线。

教师:好,从以上两个方面,可以得到方程Ax+By+C=0AB不全为0)是直线方程的一般式的结论,大家试试把图123456的直线方程化为一般式(很快就有学生要求板演,让两个学生来做)。

学生9:图1xy+5=0;图2x2y+11=0;图3y6=0

学生10:图4x+3y19=0;图57x+6y42=0;图6x1=0

教师:对,这样,我们既学习了直线方程的四种特殊形式,又学习了一般形式,现在我们来做根据已知条件求直线方程,并化为一般式的练习。

(投影片1,由于题多,分组完成,第一组做12题,第二组做34题,第三组做56题,第四组做78题,5分钟后检查,每组一个学生板演)

练习:由下列条件,写出直线的方程,并化成一般式

1、经过点A6,-4),斜率为-3

2、经过点B42),平行于x轴;

3、斜率是-    ,经过点C8,-2);

4、经过点D(-20),平行于y轴;

5、在x轴和y轴上的截距分别是5,-3

6、经过两点P13,-2)、P25,-4);

7y轴上的截距是-7,倾斜角是45°;

8、在x轴上的截距是6,且与x轴垂直。

第一组学生11:第1题先写成y+4=3x6),再化为3x+y14=0;第2题先写成y=2,再化为y2=0

第二组学生12:第3题先写成y+2=    x8)再化为x+2y4=0;第4题先写成x=2,再化为x+2=0

第三组学生13:第5题先写成      +         =1,再化为3x5y15=0;第6题先写成             =           ,再化为x+ y1=0

第四组学生14:第7题先写成y=x7,再化为xy7=0,第8题写成x=6,再化为x6=0

教师:全部正确,由上面的练习看到,在建立直线方程时,通常根据给出的条件,采用适当的形式,但能否直接写成直线方程的一般式?

(学生思考,有一学生要回答)

学生15:不能……(但答不出理由)

(这时又有一个学生要求回答)

学生16:因为直线方程的一般形式有三个待定系数,需给出三个独立常数的值才能求。

教师:对,因为求直线方程只需两个独立常数的值已够,通常是先写出直线方程的四种形式,再化为一般式(这时学生15提问)

学生15:那为什么要学习直线方程的一般式?有直线方程的四种形式已够了。

教师:这个问题提得好,我们学习直线方程,一是要使大家了解曲线(包括直线)和二元方程f(xy)=0的对应关系,为继续学习“曲线与方程”打下基础;二是在研究两直线的平行、垂直和交角时,是通过两直线的斜率来讨论的,需用到直线方程的四种特殊形式,而在求两直线交点时,相当于求二元一次方程组的解,需要将直线方程化为一般式。因此,我们不但学习直线方程的四种形式,也要学习它的一般式,这个问题大家清楚了吧?

学生(众):清楚了。

教师:下面,我们再通过练习来熟悉直线方程的一般式。

练习:直线方程Ax+By+C=0的系数ABC满足什么关系时,这条直线有以下性质?

①与两条坐标轴都相交

②只与x轴相交

③只与y轴相交

④是x轴所在直线

⑤是y轴所在直线

(学生动笔作答)教师课堂巡视、点拨、答疑、纠错,得到了正确答案:

答:①当A0B0时,直线与两条坐标轴都相交

        ②当A0B=0时,直线只与x轴相交

        ③当A=0B0时,直线只与y轴相交

        ④当A=0B0C=0时,直线是x轴所在直线

        ⑤当A0B=0C=0时,直线是y轴所在直线

教师:这节课,我们学习的内容是直线方程的一般式,任何一条直线的方程总可以写成一般式Ax+By+C=0(其中A2+B20),反过来,任何一个二元一次方程Ax+By+C=0(其中A2+B20)也总表示一条直线,直线方程的各种特殊形式(包括点斜式、斜截式、两点式、截距式)和一般式可以互化,在处理问题过程中,我们要根据实际情况灵活选择直线方程的形式,以便使得问题能够简化。

课后作业

P43  12

课后反思总结

1.引入得当。教师首先对直线方程的四种特殊形式进行复习,然后通过用动画演示一条直线在直角坐标系的各种位置,让学生根据图形分别直接写出不同形式的方程,再让学生思考各种形式能否写成y=kx+b的形式?是不是都有关于xy的一次方程?从而引入课题“直线方程的一般形”。教师所提的问题处在学生的最近的“发展区”,于是便形式了心理上的认知冲突,激发了求知欲,学生在积极参与探索活动中主动构建知识,从课例可以看出,课堂教学收到了良好效果。

2.发现法与创新教育并行不悖。教师在继承传统,对常规模式进行改造的同时,努力在素质教育的创新教育的方向指引下,始终围绕着学生展开:“课前准备”开发学生的非智力因素;“新课导入”使学生的脑、手、并用;“阅读自学”培养了学生的自学能力,引导点拨为学生思考、探索、发现、创造提供更大的空间,使教学活动具有更强的开放性和选择性,进而形成有利于学生主体精神、创新能力健康发展的教学环境。

3.现代教育技术的合理使用是创新教学的一种教学手段。我们课题组教师经常把需用计算机辅助教学的课程集中起来,统一集体备课,充分引入数学实验,也就是根据数学思想发展脉络,创造问题情境,充分利用实验手段,设计系列问题,增加辅助环节,从直观想象到发现、猜想,然后给出验证及理论证明,从而使学生亲历数学构建过程,逐步认识事物,发现真理的方法,培养创造能力,提高数学素养,就本节课例来看,收到了明显的教学效果。

4.数学课堂上,教师应留给学生足够的“空白时间带”,以保证学生有充分的时间去进行探索。在课例中,教师连珠炮式提问,学生连珠炮式的回答,势必影响相当一些学生(特别是程度较差的学生)的主动思考;这种“发现”使得个别学生成为了“发现”的真正参与者,而绝大多数学生成为了“发现”的旁观者。相反,如果执教者留给学生一定的思考时间,并借此机会巡视课堂,去发现更多学生的想法并予相应的评价,启发与引导;然后,再让学生各抒已见,其教学效果将会更佳。

 

内容录入:景天昊言    责任编辑:景天昊言 
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